Question

19．已知橢圓G的中心在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，離心率$e=\frac{1}{2}$，右焦點(diǎn)與圓C：x²+y²-2x-3=0的圓心重合．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）設(shè)F₁、F₂是橢圓G的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過F₂的直線l：x=my+1與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，請問△ABF₁的內(nèi)切圓M的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圓的方程求出圓心坐標(biāo)，可得橢圓半焦距c，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）畫出圖形，由題意可得，當(dāng)${S_{△AB{F_1}}}$最大時(shí)，△ABF₁內(nèi)切圓的面積也最大，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出A，B的坐標(biāo)，代入三角形面積公式，然后利用換元法結(jié)合基本不等式求得最值．

解答 解：（Ⅰ）圓C：x²+y²-2x-3=0的圓心為（1，0）．
設(shè)橢圓G的方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
則$c=1，e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=2．
∴b²=a²-c²=2²-1=3，
∴橢圓G的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）如圖，設(shè)△ABF₁內(nèi)切圓M的半徑為r，與直線l的切點(diǎn)為C，
則三角形△ABF₁的面積等于△ABM的面積+△AF₁M的面積+△BF₁M的面積．
即${S_{△AB{F_1}}}=\frac{1}{2}（|{AB}|+|{A{F_2}}|+|{B{F_2}}|）r$=$\frac{1}{2}[（|{A{F_1}}|+|{A{F_2}}|）+（|{B{F_1}}|+|{B{F_2}}|）]r=2ar=4r$．
當(dāng)${S_{△AB{F_1}}}$最大時(shí)，r也最大，△ABF₁內(nèi)切圓的面積也最大．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
則${S_{△AB{F_1}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{y_1}|+\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|•|{y_2}|={y_1}-{y_2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
解得${y_1}=\frac{{-3m+6\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$，${y_2}=\frac{{-3m-6\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$．
∴${S_{△AB{F_1}}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$．    
令$t=\sqrt{{m^2}+1}$，則t≥1，且m²=t²-1，
有${S_{△AB{F_1}}}=\frac{12t}{{3（{t^2}-1）+4}}=\frac{12t}{{3{t^2}+1}}=\frac{12}{{3t+\frac{1}{t}}}$．
令$f（t）=3t+\frac{1}{t}$，由f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，得f（t）≥f（1）=4．
∴${S_{△AB{F_1}}}≤\frac{12}{4}=3$．即當(dāng)t=1，m=0時(shí)，4r有最大值3，得${r_{max}}=\frac{3}{4}$，這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積為$\frac{9}{16}π$．
∴存在直線l：x=1，△ABF₁的內(nèi)切圓M的面積最大值為$\frac{9}{16}π$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用換元法和基本不等式求最值，是中檔題．