Question

已知條件p：實數x滿足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0；條件q：實數x滿足x²-5x+6＜0．
（Ⅰ）若a=1，且“p∧q”為真，求實數x的取值范圍；
（Ⅱ）若q是p的充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（1）若a=1，求出命題p，q的等價條件，利用p∧q為真，則p，q為真，即可求實數x的取值范圍；
（2）求出命題p，q的等價條件，利用q是p的充分條件，即可求實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a=1，不等式為（x-a）（x-3a）＜0為
（x-1）（x-3）＜0，
即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，
由x²-5x+6＜0得（x-3）（x-2）＜0，
則2＜x＜3，即q：2＜x＜3，
若p∧q為真，則p，q同時為真，
即

1＜x＜3 2＜x＜3

，解得2＜x＜3，
則實數x的取值范圍是2＜x＜3；
（2）∵x²-4ax+3a²＜0，
∴（x-a）（x-3a）＜0，
若a＞0，則不等式的解為a＜x＜3a，
若a＜0，則不等式的解為3a＜x＜a，
∵q：2＜x＜3，
∴若q是p的充分條件，
則a＞0，且

a≤2 3a≥3

，
即1≤a≤2，
則實數a的取值范圍是[1，2]．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的應用，以及不等式的求解，利用不等式的解法時解決本題的關鍵．