Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E、F分別為邊AB、AD的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ADE沿DE折起，得四棱錐A-BCDE．

（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）若平面ADE⊥平面BCDE，求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取線段AC的中點(diǎn)M，連結(jié)MF，MB．推出MF∥CD，然后證明BE∥CD，利用直線與平面平行的判定定理證明EF∥平面ABC．
（Ⅱ）方法（一）：取DE的中點(diǎn)O，連結(jié)AO，證明AO⊥平面BCDE．過O作OG⊥CD交CD于點(diǎn)G，連結(jié)AG，說明∠AGO就是二面角A-CD-E的平面角，然后解三角形即可．
方法（二）：取CD的中點(diǎn)N，連結(jié)ON，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)平面ACD的法向量，平面BCD的法向量利用向量的數(shù)量積求解夾角．

解答： 解：（Ⅰ）如圖：取線段AC的中點(diǎn)M，連結(jié)MF，MB．

因?yàn)镕為AD邊的中點(diǎn)，得MF∥CD，且MF=

1

2

CD，
在折疊前，四邊形ABCD為矩形，
因?yàn)镋為AB邊的中點(diǎn)，所以BE∥CD，且BE=

1

2

CD，
所以MF∥BE，且MF=BE，所以四邊形BEFM為平行四邊形，
故EF∥BM，又EF?平面ABC，BM?平面ABC．
∴EF∥平面ABC．…6分
（Ⅱ）方法（一）：由已知條件可知，△ADE是等腰直角三角形，且AD=AE=2，DE=2

2

．
∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，
∴取DE的中點(diǎn)O，
連結(jié)AO，則AO⊥DE，根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，得AO⊥平面BCDE．
過O作OG⊥CD交CD于點(diǎn)G，連結(jié)AG，
根據(jù)三垂線定理得，AG⊥CD，
所以∠AGO就是二面角A-CD-E的平面角，
易求得OP=1，AO=

2

，AG=

3

，所以cos∠AGO=

3

3

．
即所求二面角 A-CD-E的余弦值為

3

3

…12分
方法（二）：由已知條件，易知DE⊥CE，
所以取CD的中點(diǎn)N，連結(jié)ON，則ON⊥DE．又由方法（一）所證，AO⊥平面BCDE，
所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，

2

)，D(

2

，0，0)，C(-

2

，2

2

，0)．
設(shè)平面ACD的法向量為

m

=(x，y，z)，

則

m • AD =0 m • AC =0

⇒

x-z=0 x-2y+z=0

，得

m

=(1，1，1)，
又因?yàn)槊鍮CD的法向量為

n

=(0，0，1)，
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

3

3

，
所以二面角A-CD-E的余弦值為

3

3

．…12分．

點(diǎn)評：本題考查空間線面位置關(guān)系、二面角等有關(guān)知識，考查學(xué)生空間想象能力，中等題．