Question

3．設(shè)變量x、y滿足下列條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，則z=xy的最大值為1．

Answer 1

分析 作出可行域（如圖△ABC），通過(guò)討論（x，y）所在的區(qū)域，然后求解xy最值．

解答 解：作出$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-y+1≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，所對(duì)應(yīng)的可行域（如圖△ABC），
變形目標(biāo)函數(shù)可得z=xy，當(dāng)點(diǎn)（x，y）在三角形BCD區(qū)域時(shí)，
B處xy最大，$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{2}$，此時(shí)xy=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)（x，y）在三角形ABD時(shí)，（x，y）在線段AB上取得最大值，
xy=x（2-x）=2x-x²，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
2x-x²=-（x-1）²+1，當(dāng)x=1時(shí)，xy取得最大值：1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，準(zhǔn)確作圖以及分類討論，二次函數(shù)的最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．