Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n=A•4ⁿ+B•n，其中A、B是兩個確定的實數(shù)，B≠0．
（1）若A=B=1，求{a_n}的前n項之和；
（2）證明：{a_n}不是等比數(shù)列；
（3）若a₁=a₂，數(shù)列{a_n}中除去開始的兩項之外，是否還有相等的兩項？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的求和方法：分組求和，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和；
（2）運用反證法，假設(shè){a_n}是等比數(shù)列，由定義，設(shè)公比為q，化簡整理推出B=0與題意矛盾，即可得證；
（3）數(shù)列{a_n}中除去開始的兩項之外，假設(shè)還有相等的兩項，由題意可得B=-12A，構(gòu)造函數(shù)f（x）=4^x-12x，x＞0，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由a_n=4ⁿ+n，
可得{a_n}的前n項之和為（4+4²+…+4ⁿ）+（1+2+…+n）
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$+$\frac{1}{2}$n（n+1）=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）+$\frac{1}{2}$（n²+n）；
（2）證明：假設(shè){a_n}是等比數(shù)列，
即有$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=q（q為公比），
即為Aq•4ⁿ+Bq•n=A•4ⁿ⁺¹+B•（n+1），
即Aq=4A，Bq=B，B=0，
解得q=4，B=0，這與B≠0矛盾，
則{a_n}不是等比數(shù)列；
（3）若a₁=a₂，數(shù)列{a_n}中除去開始的兩項之外，假設(shè)還有相等的兩項，
設(shè)為a_k=a_m，（k，m不相等），
由a₁=a₂，可得4A+B=16A+2B，
即B=-12A．
則a_n=A•4ⁿ+B•n=A（4ⁿ-12•n），
即有A（4^k-12•k）=A（4^m-12•m），
即為4^k-12•k=4^m-12•m，
構(gòu)造函數(shù)f（x）=4^x-12x，x＞0，
f′（x）=4^xln4-12，
由f′（x）=0可得x₀=log₄$\frac{12}{ln4}$∈（1，2），
當(dāng)x＞x₀時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
故數(shù)列{a_n}中除去開始的兩項之外，再沒有相等的兩項．

點評 本題考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，同時考查反證法的運用，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．