Question

某運(yùn)動(dòng)隊(duì)擬在2015年3月份安排5次體能測(cè)試，規(guī)定：依次測(cè)試，只需有一次測(cè)試合格就不必參加后續(xù)的測(cè)試．已知運(yùn)動(dòng)員小劉5次測(cè)試每次合格的概率依次構(gòu)成一個(gè)公差為

1

9

的等差數(shù)列，他第一次測(cè)試合格的概率不超過(guò)

4

9

，且他直到第二次測(cè)試才合格的概率為

8

27

．
（Ⅰ）求小劉第一次參加測(cè)試就合格的概率；
（Ⅱ）在小劉參加第一、第二次測(cè)試均不合格的前提下，記小劉參加后續(xù)測(cè)試的次數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)小劉五次參加測(cè)試合格的概率依次為p，p+

1

9

，p+

2

9

，p+

3

9

，p+

4

9

(p≤

4

9

)，通過(guò)(1-p)(p+

1

9

)=

4

27

，求解p即可．
（Ⅱ）ξ的可能取值為1，2，3，得到ξ的分布列，然后求解期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)小劉五次參加測(cè)試合格的概率依次為p，p+

1

9

，p+

2

9

，p+

3

9

，p+

4

9

(p≤

4

9

)，
則(1-p)(p+

1

9

)=

8

27

，
即27p²-24p+5=0，（3p-1）（9p-5）=0，
解得p=

1

3

或p=

5

9

（舍去）
所以小劉第一次參加測(cè)試就合格的概率為

1

3

．
（Ⅱ）ξ的可能取值為1，2，3，P(ξ=1)=

1

3

+

2

9

=

5

9

=

45

81

，P(ξ=2)=(1-

5

9

)

6

9

=

24

81

，P(ξ=3)=(1-

5

9

)(1-

6

9

)=

12

81

，
所以ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	45 81	24 81	12 81

Eξ=1×

45

81

+2×

24

81

+3×

12

81

=

129

81

=

43

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．