Question

如圖是某幾何體的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖．在直觀圖中，2BN=AE，M是ND的中點(diǎn)．側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．
（1）在答題紙上的虛線框內(nèi)畫出該幾何體的正視圖，并標(biāo)上數(shù)據(jù)；
（2）求證：EM∥平面ABC；
（3）試問在邊BC上是否存在點(diǎn)G，使GN⊥平面NED．若存在，確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）由題意畫出正視圖即可．
（2）證明FM

∥

.

EA，可得四邊形EAFM是平行四邊形，即有AF∥EM，又AF⊆平面ABC，從而證明EM∥平面ABC．
（3）用向量法，建立空間坐標(biāo)系，依據(jù)題設(shè)條件直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)，用向量表示出位置關(guān)系對應(yīng)的方程，進(jìn)行求解，若解出的坐標(biāo)存在于所要求的位置，則說明存在．

解答： 解：（1）正視圖如圖所示．（注：不標(biāo)中間實(shí)線扣1分）…（2分）
（2）證明：俯視圖和側(cè)視圖，得∠CAB=90°，
DC=3，CA=AB=2，EA=2，BN=1，EA⊥ABC，
EA∥DC∥NB．取BC的中點(diǎn)F，連接FM、EM，
則FM∥DC∥EA，且FM=

1

2

（BN+DC）=2．…（4分）
∴FM

∥

.

EA，
∴四邊形EAFM是平行四邊形，
∴AF∥EM，又AF⊆平面ABC，
∴EM∥平面ABC．…（7分）
（3）以A為原點(diǎn)，CA為x軸，AB為y軸，AE為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則有A（0，0，0），E（0，0，2），B（0，2，0），
D（-2，0，3），N（0，2，1），C（-2，0，0）．
設(shè)

ND

=（-2，-2，2），

NE

=（0，-2，1），

CB

=（2，2，0），

CN

=（2，2，1）．
假設(shè)在BC邊上存在點(diǎn)G滿足題意，
設(shè)

CG

=λ

CB

=（2λ，2λ，0），λ∈[0，1]，
則

GN

=

CN

-

CG

=（2，2，1）-（2λ，2λ，0）=（2-2λ，2-2λ，1），
∵GN⊥平面NED，
∴

GN • NE =0 GN • ND =0

，即

-4+4λ+1=0 -8+8λ+2=0

，
∴邊BC上存在點(diǎn)D，滿足CG=

3

4

CB時(shí)，GN⊥平面NED．…（12分）

點(diǎn)評：本題是一個(gè)立體幾何綜合題，主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間向量的應(yīng)用，涉及到的定理與技巧較多，對答題者的空間感知能力，問題的轉(zhuǎn)化能力要求較高，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．