Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求PB和平面PAD所成角的大��；
（2）求證：CD⊥AE；
（3）證明：AE⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）求PB和平面PAD所成的角的大小，說明∠APB就是要求的角即可求解．
（2）通過證明CD⊥面PAC，即可證明AE⊥CD．
（3）要證明AE⊥平面PCD，只要證明AE⊥PC，結(jié)合AE⊥CD，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）解：在四棱錐P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，故PA⊥AB．
又AB⊥AD，PA∩AD=A，從而AB⊥平面PAD．故PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA，
從而∠APB為PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．
所以PB和平面PAD所成的角的大小為45°．
（2）證明：在四棱錐P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故CD⊥PA．
由條件CD⊥PA，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．
又AE?面PAC，∴AE⊥CD．
（3）由（2）可知AE⊥CD，
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC，∴PC∩CD=C．綜上得AE⊥平面PCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直、直線和平面所成的角．考查空間想象能力、記憶能力和推理論證能力．