Question

4．在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，若$\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AE}$+$μ\overrightarrow{BF}$，則λ+μ的值為（　�。�

• A． $\frac{4}{5}$
• B． 1
• C． $\frac{8}{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則，將向量$\overrightarrow{AC}$用平行四邊形的各邊對(duì)應(yīng)向量表示，結(jié)合平面向量基本定理得到關(guān)于λ，μ的方程組解之．

解答 解：由題意，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，
由已知$\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AE}$+$μ\overrightarrow{BF}$=$λ（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}）$+$μ（\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}）$=（$λ-\frac{1}{2}μ$）$\overrightarrow{AB}$+（$\frac{1}{2}λ+μ$）$\overrightarrow{BC}$，
根據(jù)平面向量基本定理得到$\left\{\begin{array}{l}{λ-\frac{1}{2}μ=1}\\{\frac{1}{2}λ+μ=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{6}{5}}\\{μ=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
所以λ+μ=$\frac{8}{5}$；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的運(yùn)算法則以及基本定理得到運(yùn)用；考查了方程組思想；屬于基礎(chǔ)題．