Question

2．已知f（x）=aln（x²+1）+bx存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂．
（1）求證：|x₁+x₂|＞2；
（2）若實(shí)數(shù)λ滿足等式f（x₁）+f（x₂）+a+λb=0，試求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的導(dǎo)數(shù)，可設(shè)g（x）=f′（x），即有方程g（x）=0有兩個(gè)不同的非零實(shí)根x₁，x₂，可得$\frac{a}$＞1，結(jié)合韋達(dá)定理可得結(jié)論；
（2）若實(shí)數(shù)λ滿足等式f（x₁）+f（x₂）+a+λb=0，化簡(jiǎn)整理可得-λ=$\frac{2a}$ln$\frac{2a}$-$\frac{a}$，設(shè)t=$\frac{2a}$＞2，則-λ=tlnt-$\frac{1}{2}$t，求出右邊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，進(jìn)而可得λ的取值范圍．

解答 證明：（1）由f（x）=aln（x²+1）+bx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{2ax}{{x}^{2}+1}$+b=$\frac{{bx}^{2}+2ax+b}{{x}^{2}+1}$，
令g（x）=bx²+2ax+b，由題意可得g（x）=0有兩個(gè)不同的非零實(shí)根，
得△=4a²-4b²＞0，
因此a＞b＞0，
所以$\frac{a}$＞1；
所以x₁+x₂=-$\frac{2a}$＜-2，
即|x₁+x₂|＞2；
解：（2）由（1）知x₁x₂=1，
f（x₁）+f（x₂）+a
=aln[x₁²x₂²+（x₁²+x₂²）+1]+b（x₁+x₂）+a
=aln[（x₁²+x₂²）+2]+b（x₁+x₂）+a
=aln[（x₁+x₂）²]+b（x₁+x₂）+a
=2aln$\frac{2a}$-a，
由f（x₁）+f（x₂）+a+λb=0得-λ=$\frac{2a}$ln$\frac{2a}$-$\frac{a}$，
設(shè)t=$\frac{2a}$＞2，則-λ=tlnt-$\frac{1}{2}$t，
令h（t）=tlnt-$\frac{1}{2}$t，t＞2．
h′（t）=1+lnt-$\frac{1}{2}$=lnt+$\frac{1}{2}$＞0，
h（t）在（2，+∞）是增函數(shù)．
因此-λ＞2ln2-1，
即為λ＜1-2ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，構(gòu)造函數(shù)法和運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，難度中檔．