Question

【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)， 在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸．

（1）求線段的長(zhǎng)；

（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的動(dòng)直線交于點(diǎn)和，交于點(diǎn)，若直線、、的斜率依次成等差數(shù)列，試問(wèn)： 是否過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的方程為，即恒過(guò)定點(diǎn)．

【解析】試題分析：(Ⅰ)運(yùn)用切線與曲線的關(guān)系建立方程求解；(Ⅱ)借助題設(shè)條件建立方程分析求解即可.

試題解析:

（Ⅰ）由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得

，故， 的方程為

在第一象限的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，則

故在點(diǎn)處的切線斜率為，切線的方程為

令得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為

故線段的長(zhǎng)為

（Ⅱ）恒過(guò)定點(diǎn)，理由如下：

由題意可知的方程為，因?yàn)?/span>與相交，故

由，令，得，故

設(shè)

由消去得：

則，

直線的斜率為，同理直線的斜率為

直線的斜率為

因?yàn)橹本�、、的斜率依次成等差數(shù)列，所以

即

整理得： ，

因?yàn)?/span>不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以

所以，即

故的方程為，即恒過(guò)定點(diǎn)