Question

設(shè)f（x）=e^x-a（x+1）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），且f′（0）=0．
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-f（-x），對(duì)任意x₁、x₂∈R（x₁≠x₂），恒有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＞m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，再代入，求出a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求出單調(diào)區(qū)間，
（2）由題意構(gòu)造函數(shù)F（x）=g（x）-mx，則F（x）在R上單調(diào)遞增，根據(jù)基本不等式求出函數(shù)的最值，即可得到m的取值范圍

解答： （1）解：f'（x）=e^x-a，
∵f'（0）=1-a=0，
∴a=1           （2分）
令f'（x）=e^x-1＞0得：x＞0；
令f'（x）=e^x-1＜0得：x＜0      （4分）
∴f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）（6分）
（2）解：∵

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＞m
∴當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，有：g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁
當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，有：g（x₁）-mx₁＞g（x₂）-mx₂（8分）
令F（x）=g（x）-mx，則F（x）在R上單調(diào)遞增           （9分）
∴F'（x）=g'（x）-m≥0，即m≤g'（x）在R上恒成立           （10分）
而g'（x）=f'（x）+f'（-x）=e^x+e^-x-2≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=”）
∴m≤0．                             （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及其應(yīng)用，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．