Question

已知a²+b²+c²=1，a，b，c是實(shí)數(shù)，則3ab-3bc+2c²的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：對c分類討論：c=0，即可得出；當(dāng)c≠0時(shí)，3ab-3bc+2c²=

3ab-3bc+2c2

a2+b2+c2

=

3• a c • b c -3• b c +2

( a c )2+( b c )2+1

，設(shè)x=

a

c

，y=

b

c

，則可令M=3ab-3bc+2c²=

3xy-3y+2

x2+y2+1

，再利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系即可得出．

解答： 解：不妨考慮c，當(dāng)c=0時(shí)，有3ab-3bc+2c²=3ab≤

3(a2+b2)

4

=

3

4

，
當(dāng)c≠0時(shí)，3ab-3bc+2c²=

3ab-3bc+2c2

a2+b2+c2

=

3• a c • b c -3• b c +2

( a c )2+( b c )2+1

，
設(shè)x=

a

c

，y=

b

c

，則可令M=3ab-3bc+2c²=

3xy-3y+2

x2+y2+1

，
即有Mx²-3xy+My²+M+3y-2=0，
由于x為實(shí)數(shù)，則有判別式△₁=9y²-4M（My²+M+3y-2）≥0，
即有（9-4M²）y²-12My-4M（M-2）≥0，
由于y為實(shí)數(shù)，則△₂=144M²+16M（9-4M²）（M-2）≤0，
即有M（M-3）（2M²+2M-3）≤0，
由于求M的最大值，則M＞0，則M≤3．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程有實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、分類討論，考查了變形能力與推理能力、計(jì)算能力，屬于難題．