Question

已知函數(shù)f（x）=x+

p

x

+m（p≠0）是奇函數(shù)，
（1）求m的值；
（2）若p=-1，用定義證明函數(shù)f（x）=x-

1

x

在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．
（3）若p＜0，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，求f（x）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇函數(shù)的定義，解方程即可求出m=0；
（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（3）通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再由單調(diào)性即可得到最值．

解答： 解：（1）由于x≠0，函數(shù)f（x）=x+

p

x

+m（p≠0）是奇函數(shù)，
則有f（-x）+f（x）=0，即為-x-

p

x

+m+x+

p

x

+m=0，
即有m=0；
（2）p=-1時(shí)，f（x）=x-

1

x

，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
證明如下：設(shè)0＜m＜n，則f（m）-f（n）=（m-

1

m

）-（n-

1

n

）
=（m-n）（1+

1

mn

），
由于0＜m＜n，則m-n＜0，mn＞0，則有f（m）-f（n）＜0，即有f（m）＜f（n），
則f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（3）p＜0時(shí)，f（x）=x+

p

x

的導(dǎo)數(shù)f′（x）=1-

p

x2

＞0，
f（x）遞增，即有f（x）在[1，3]上遞增，
則f（1）取得最小值，且為1+p，f（3）取得最大值，且為3+

p

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．