Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cosxcos（x-θ）-

1

2

cosθ，θ∈（0，π），已知當(dāng)x=

π

3

取得最大值為

1

2

．
（1）求θ的值；
（2）設(shè)g（x）=2f（

3

2

x），求g（x）在[0，

π

3

]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得cos（

2π

3

-θ）=1，從而確定θ的值；
（2）先求g（x）的函數(shù)解析式，根據(jù)自變量的取值范圍即可求出g（x）在[0，

π

3

]上的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=cosxcos（x-θ）-

1

2

cosθ
=cosx（cosxcosθ+sinxsinθ）-

1

2

cosθ
=

1+cos2x

2

•cosθ+

1

2

sin2xsinθ-

1

2

cosθ
=

1

2

cos（2x-θ）…2分
由f（x）_max=f（

π

3

）=

1

2

，可得cos（

2π

3

-θ）=1
∵θ∈（0，π），
∴θ=

2π

3

…6分
（2）由（1）知f（x）=

1

2

cos（2x-

2π

3

）
則g（x）=2f（

3x

2

）=cos（3x-

2π

3

）…8分
∵x∈[0，

π

3

]，
∴-

2π

3

≤3x-

2π

3

≤

π

3

…10分
∴當(dāng)3x-

2π

3

=-

2π

3

即x=0，g（x）_min=-

1

2

…12分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．