Question

9．已知定認(rèn)在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f′（x）＜f（x），且y=f（x）-1為奇函數(shù)，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，0）
• C． （-∞，e⁴）
• D． （e⁴，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，由求導(dǎo)公式和法則求出g′（x），根據(jù)條件判斷出g′（x）的符號(hào)，得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，再由奇函數(shù)f（x）的結(jié)論：f（0）=0求出g（0）的值，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，利用g（x）的單調(diào)性可求出不等式的解集．

解答 解：由題意令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-f（x）（{e}^{x}）′}{{e}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f（x）＞f′（x），
∴g′（x）＜0，
即g（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∵y=f（x）-1為奇函數(shù)，
∴f（0）-1=0，即f（0）=1，g（0）=1，
則不等式f（x）＜e^x等價(jià)為$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1=g（0），
即g（x）＜g（0），
解得x＞0，
∴不等式的解集為（0，+∞），
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，奇函數(shù)的結(jié)論的靈活應(yīng)用，以及利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的解題構(gòu)造能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．