Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式及其前n項和S_n；
（2）設${b_n}={2^{{{（{-1}）}^n}{a_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比數(shù)列．可得：${a}_{2}^{2}$=a₁•（a₄+2），即（1+d）²=1×（1+3d+2），解得d．經(jīng)過驗證可得d，再利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）${b_n}={2^{{{（{-1}）}^n}{a_n}}}$=${2}^{（-1）^{n}（2n-1）}$．∴當n為偶數(shù)時，$\frac{_{n+2}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{2n+3}}{{2}^{2n-1}}$=16．當n為奇數(shù)時，$\frac{_{n+2}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{-（2n+3）}}{{2}^{-（2n-1）}}$=$\frac{1}{16}$．可得數(shù)列{b_n}的奇數(shù)項是以$\frac{1}{2}$為首項，$\frac{1}{16}$為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項是以8為首項，16為公比的等比數(shù)列．利用求和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=1，且a₁，a₂，a₄+2成等比數(shù)列．
∴${a}_{2}^{2}$=a₁•（a₄+2），即（1+d）²=1×（1+3d+2），解得d=2或-1．
其中d=-1時，a₂=0，舍去．
∴d=2，可得a_n=1+2（n-1）=2n-1．
S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（2）${b_n}={2^{{{（{-1}）}^n}{a_n}}}$=${2}^{（-1）^{n}（2n-1）}$．
∴當n為偶數(shù)時，$\frac{_{n+2}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{2n+3}}{{2}^{2n-1}}$=16．當n為奇數(shù)時，$\frac{_{n+2}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{-（2n+3）}}{{2}^{-（2n-1）}}$=$\frac{1}{16}$．
∴數(shù)列{b_n}的奇數(shù)項是以$\frac{1}{2}$為首項，$\frac{1}{16}$為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項是以8為首項，16為公比的等比數(shù)列．
∴數(shù)列{b_n}的前2n項和T_2n=（b₁+b₃+…+b_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=$\frac{\frac{1}{2}×[1-（\frac{1}{16}）^{n}]}{1-\frac{1}{16}}$+$\frac{8×（1{6}^{n}-1）}{16-1}$
=$\frac{8}{15}$（16ⁿ-16^-n）．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式與求和公式、分組求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．