Question

20．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直線x-y+1=0上，則$\frac{1}{{2{S_1}}}$+$\frac{1}{{2{S_2}}}$+$\frac{1}{{2{S_3}}}$+…+$\frac{1}{{2{S_{2016}}}}$=$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，由此能求出$\frac{1}{{2{S_1}}}$+$\frac{1}{{2{S_2}}}$+$\frac{1}{{2{S_3}}}$+…+$\frac{1}{{2{S_{2016}}}}$的值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直線x-y+1=0上，
a_n-a_n+1+1=0，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，
∴$\frac{1}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{2{S_1}}}$+$\frac{1}{{2{S_2}}}$+$\frac{1}{{2{S_3}}}$+…+$\frac{1}{{2{S_{2016}}}}$
=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$
=1-$\frac{1}{2017}$
=$\frac{2016}{2017}$．
故答案為：$\frac{2016}{2017}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前2016項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．