Question

15．如圖，已知F₁、F₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點，過F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，且∠PF₁F₂=30°．求：
（1）雙曲線的離心率；
（2）雙曲線的漸近線方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：Rt△PF₂F₁中，|PF₁|=$\frac{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}{cos∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}c}{3}$，|PF₂|=$\frac{1}{2}$|PF₁|=$\frac{2\sqrt{3}c}{3}$，根據(jù)雙曲線的定義求得|PF₁|-|PF₂|=2a，求得a和c的關(guān)系，即可求得雙曲線的離心率；
（2）根據(jù)雙曲線的性質(zhì)$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}}{a}$═$\sqrt{（\frac{c}{a}）^{2}-1}$，將e=$\frac{c}{a}$代入即可求得雙曲線的漸近線方程．

解答 解：（1）∵∠PF₂F₁=90°，∠PF₁F₂=30°．
在Rt△PF₂F₁中，|PF₁|=$\frac{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}{cos∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{2c}{cos30°}$=$\frac{4\sqrt{3}c}{3}$，
|PF₂|=$\frac{1}{2}$|PF₁|=$\frac{2\sqrt{3}c}{3}$，
又|PF₁|-|PF₂|=2a，即$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c=2a，$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
（2）對于雙曲線，有c²=a²+b²，
∴b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}}{a}$=$\sqrt{（\frac{c}{a}）^{2}-1}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$．
∴雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x．

點評 本題考查雙曲線的定義及其簡單幾何性質(zhì)，求雙曲線漸近線方程的思路和方法，恰當(dāng)利用幾何條件是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．