Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前五項(xiàng)依次為$0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{15}}}{5}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，請(qǐng)參考前四項(xiàng)歸納猜想出一個(gè)通項(xiàng)公式，且第五項(xiàng)也滿足猜想，你的猜想結(jié)果是a_n=$\sqrt{\frac{n-1}{n+1}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)，歸納分析可以推測(cè)a_n=$\sqrt{\frac{n-1}{n+1}}$，驗(yàn)證n=5時(shí)是否成立，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)依次為$0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
則有a₁=$\sqrt{\frac{1-1}{1+1}}$=0，
a₂=$\sqrt{\frac{2-1}{2+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
a₃=$\sqrt{\frac{3-1}{3+1}}$=$\sqrt{\frac{2}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
a₄=$\sqrt{\frac{4-1}{4+1}}$=$\sqrt{\frac{3}{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
則可以推測(cè)a_n=$\sqrt{\frac{n-1}{n+1}}$，
當(dāng)n=5時(shí)，a₅=$\sqrt{\frac{5-1}{5+1}}$=$\sqrt{\frac{4}{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，符合題意；
故答案為：$\sqrt{\frac{n-1}{n+1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查歸納推理的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析該數(shù)列的前5項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律．