Question

【題目】（本題分）

已知定義在上的兩個(gè)函數(shù)， 圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同．

（Ⅰ）用表示．

（Ⅱ）求證： ．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)出兩曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，把設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩導(dǎo)函數(shù)中得到兩關(guān)系式，聯(lián)立兩關(guān)系式即可解出公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把求出的橫坐標(biāo)代入得到用a表示出b的式子；

（Ⅱ）設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x），求出F（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到F（x）的單調(diào)區(qū)間，由x大于0和函數(shù)的增減性得到F（x）的最小值為0，即f（x）﹣g（x）大于等于0，得證．

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)與公共點(diǎn)處的切線相同．

∵， ，

由題意， ，

即，

得或（舍去），

即有．

（Ⅱ）證明：設(shè)，

則， ，

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

所以函數(shù)在上有最小值， ，

故當(dāng)時(shí)，有，

即當(dāng)時(shí)， ．