Question

已知f（x）=-4cos²x+4

3

asinxcosx，將f（x）的圖象按向量

b

=(-

π

4

，2）平移后，圖象關(guān)于直線x=

π

12

對(duì)稱．
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并求f（x）取得最大值時(shí)x的集合；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求得將f（x）的圖象按向量

b

=(-

π

4

，2）平移后的解析式為g（x）=f（x+

π

4

）+2=2sin2x+2

3

acos2x，利用其圖象關(guān)于直線x=

π

12

對(duì)稱可求得a；
（2）將 f(x)=2

3

sin2x-2cos2x-2化為f(x)=4sin(2x-

π

6

)-2，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=2

3

asin2x-2cos2x-2，
將f（x）的圖象按向量

b

=(-

π

4

，2）平移后的解析式為g（x）=f（x+

π

4

）+2=2sin2x+2

3

acos2x．…（3分）
∵g（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對(duì)稱，
∴有g(shù)（0）=g（

π

6

），即2

3

a=

3

+

3

a，解得a=1．   …（5分）
則f（x）=2

3

sin2x-2cos2x-2=4sin(2x-

π

6

）-2．   …（6分）
當(dāng)2x-

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

3

時(shí)，f（x）取得最大值2．…（7分）
因此，f（x）取得最大值時(shí)x的集合是{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}．…（8分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

．
因此，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，重點(diǎn)考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)與單調(diào)性，難點(diǎn)是輔助角公式的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．