Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）若是函數(shù)的極值點，1和是函數(shù)的兩個不同零點，且，求．

（2）若對任意，都存在（為自然對數(shù)的底數(shù)），使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)再結(jié)合極值點和零點建立方程組，

在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增故函數(shù)至多有兩個零點，其中，，再由零點定理得，故；（2）令，為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù)

在上有解，再令，原命題轉(zhuǎn)化為只需存在使得，設(shè)，令，再利用導(dǎo)數(shù)工具，結(jié)合分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想求導(dǎo)正解．

試題解析： （1），∵是函數(shù)的極值點，∴．

∵是函數(shù)的零點，得，

由解得，．

∴，．

令,，得，

令，得，

所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．

故函數(shù)至多有兩個零點，其中，，

因為，，

，所以，故．

（2）令，，則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù)，

根據(jù)題意，對任意，都存在，使得成立，

則在上有解，

令，只需存在使得即可，

由于，

令，，

∴在上單調(diào)遞增，，

①當(dāng)，即時，，即，在上單調(diào)遞增，∴，不符合題意；

②當(dāng)，即時，，．

若，則，所以在上恒成立，即恒成立，∴在上單調(diào)遞減，

∴存在，使得，符合題意．

若，則，∴在上一定存在實數(shù)，使得，∴在上恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞減，∴存在，使得，符合題意．

綜上所述，當(dāng)時，對任意，都存在，使得成立．