Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)且對任意實數(shù)x，恒有f（x+2）=-f（x），當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
（1）求證：f（x）的周期函數(shù)；
（2）x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）計算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得f（x）=-f（x+2）=-（-f（x+4））=f（x+4）；從而可證明函數(shù)為周期函數(shù)；
（2）由[0，2]上的表達(dá)式先求[-2，0]上的表達(dá)式，再求[2，4]上的表達(dá)式；
（3）由周期性可化為f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）=503（f（0）+f（1）+f（2）+f（3））+f（0）+f（1）=503（f（0）+f（1）+f（2）+f（-1））+f（0）+f（1），再由奇偶性求解．

解答： 解：（1）證明：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x+2）=-（-f（x+4））=f（x+4）；
故f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
（2）∵當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²，
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴x∈[-2，0]時，f（x）=2x+x²，
故當(dāng)x∈[2，4]時，f（x）=f（x-4）
=2（x-4）+（x-4）²
=x²-6x+8；
（3）∵f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）
=503（f（0）+f（1）+f（2）+f（3））+f（0）+f（1）
=503（f（0）+f（1）+f（2）+f（-1））+f（0）+f（1）
=f（1）=2-1=1．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的周期性與奇偶性的判斷與應(yīng)用，同時考查了函數(shù)解析式的求法，屬于中檔題．