【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣bx+lnx,(a,b∈R).

(1)若a=1,b=3,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;

(2)若b=0時(shí),不等式f(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)當(dāng)a=1,b>時(shí),記函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)是x1和x2(x1<x2),求證:f(x1)﹣f(x2)>﹣3ln2.

【答案】(1)f(x)在(0,),(1,+∞)遞增;(2)a≤﹣;(3)見解析

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2)問題轉(zhuǎn)化為a≤﹣在區(qū)間[1,+∞)恒成立,令h(x)=﹣,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可;

(3)由題意得x1,x2(x1<x2)是方程2x2﹣bx+1=0的兩個(gè)根,記g(x)=2x2﹣bx+1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

(1)由題意得:x>0,a=1,b=3時(shí),f(x)=x2﹣3x+lnx,

,令f(x)>0,解得:0<x<或x>1,

故f(x)在(0,),(1,+∞)遞增;

(2)b=0時(shí),f(x)=ax2+lnx,不等式f(x)≤0在[1,+∞)恒成立,

即a≤﹣在區(qū)間[1,+∞)恒成立,令h(x)=﹣,則,

令h(x)>0,解得:x>,令h(x)<0,解得:1<x<,

故f(x)在(1,)遞減,在(,+∞)遞增,故h(x)min=h()=﹣

故a≤﹣;

(3)a=1時(shí),f(x)=x2﹣bx+lnx,,(x>0),

由題意得x1,x2(x1<x2)是方程2x2﹣bx+1=0的兩個(gè)根,記g(x)=2x2﹣bx+1,則

,g(2)=9﹣2b<0,

∴x1∈(),x2∈(2,+∞),且f(x)在[x1,x2]遞減,

故f(x1)﹣f(x2)>f()﹣f(2)=﹣3ln2,

∵b>,∴f(x1)﹣f(x2)>﹣3ln2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. yx具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B. 回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(,

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D. 若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg

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