Question

19．已知函數f（x）=$\frac{{a{e^x}}}{x}$+x．
（1）若函數f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線經過點（0，-1），求a的值；
（2）是否存在負整數a，使函數f（x）的極大值為正值？若存在，求出所有負整數a的值；若不存在，請說明理由；
（2）設a＞0，求證：函數f（x）既有極大值，又有極小值．

Answer 1

分析 （1）第一步確定切點；第二步求斜率，即求曲線上該點的導數；第三步利用點斜式求出直線方程．
（2）根據可導函數極值的定義，找到極值點，求出極值，當極大值為正數時，從而判定負整數是否存在；
（3）利用單調性與極值的關系，求證：既存在極大值，有存在極小值．

解答 解：（1）∵$f′（x）=\frac{a{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}+1$，f′（1）=1，f（1）=ae+1
∴函數f（x）在（1，f（1））處的切線方程為：y-（ae+1）=x-1，又直線過點（0，-1）
∴-1-（ae+1）=-1，解得：a=-$\frac{1}{e}$  …（2分）
（2）若a＜0，∵$f′（x）=\frac{a{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}+1$（x≠0），
當x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0恒成立，函數在（-∞，0）上無極值；
當x∈（0，1）時，f′（x）＞0恒成立，函數在（0，1）上無極值；
在x∈[1，+∞）時，令H（x）=ae^x（x-1）+x²，則H′（x）=（ae^x+2）x，
∵x∈（1，+∞），∴e^x∈（e，+∞，）∵a為負整數∴a≤-1，∴ae^x≤ae≤-e
∴ae^x+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上單調減，
又H（1）=1＞0，H（2）=ae²+4≤-e²+4＜0∴?x₀∈（1，2），使得H（x_0^）=0     …（5分）
且1＜x＜x₀時，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x₀時，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；
∴f（x）在x₀處取得極大值$f（{x}_{0}）=\frac{a{e}^{{x}^{0}}}{{x}_{0}}+{x}_{0}$  （*）
又H（x₀）=ae^x₀（x₀-1）+x₀²=0，∴$\frac{ae{x}_{0}}{{x}_{0}}=-\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}-1}$代入（*）得：
$f（{x}_{0}）=-\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}-1}+{x}_{0}=\frac{{x}_{0}（{x}_{0}-2）}{{x}_{0}-1}＜0$，∴不存在負整數a滿足條件． …（8分）
（3）設g（x）=ae^x（x-1）+x²，則g′（x）=（ae^x+2）x，
因為a＞0，所以，當x＞0時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；
當x＜0時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；故g（x）至多兩個零點．
又g（0）=-a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x₁∈（0，1），使g（x₁）=0
再由g（x）在（0，+∞）上單調遞增知，
當x∈（0，x₁）時，g（x）＜0，故f′（x）=$\frac{g（x）}{{x}^{2}}＜0$，f（x）單調遞減；
當x∈（x₂，+∞）時，g（x）＞0，故故f′（x）=$\frac{g（x）}{{x}^{2}}＞0$，f（x）單調遞增；
所以函數f（x）在x₁處取得極小值． …（12分）
當x＜0時，e^x＜1，且x-1＜0，
所以g（x）=ae^x（x-1）+x²＞a（x-1）+x²=x²+ax-a，
函數y=x²+ax-a是關于x的二次函數，必存在負實數t，使g（t）＞0，又g（0）=-a＜0，
故在（t，0）上存在x₂，使g（x₂）=0，
再由g（x）在（-∞，0）上單調遞減知，
當x∈（-∞，x₂）時，g（x）＞0，故f′（x）=$\frac{g（x）}{{x}^{2}}＞0$，f（x）單調遞增；
當x∈（x₂，0）時，g（x）＜0，故f′（x）=$\frac{g（x）}{{x}^{2}}＜0$，f（x）單調遞減；
所以函數f（x）在x₂處取得極大值．
綜上，函數f（x）既有極大值，又有極小值．…（16分）

點評 本題考查了導數的幾何意義及可導函數極值的求解，并運用了分類討論的解題方法，對學生的思維強度要求高，屬于難題．