Question

9．如果橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的弦被點(diǎn)（1，1）平分，則這條弦所在的直線方程是（　�。�

• A． x+2y-3=0
• B． 2x-y-3=0
• C． 2x+y-3=0
• D． x+2y+3=0

Answer 1

分析 由題意可知：將E，F(xiàn)代入橢圓方程，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1}\\{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，做差求得直線EF的斜率公式，由直線的點(diǎn)斜式方程，即可求得條弦所在的直線方程．

解答 解：設(shè)過點(diǎn)A（1，1）的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1}\\{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}_{2}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，兩式相減得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2}$=0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴直線EF的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴直線EF的方程為：y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），整理得：2y+x-3=0，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．