Question

17．已知函數(shù)f（x）=e^x-2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，方程f（x）=kx²-2x無(wú)解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，有$k=\frac{e^x}{x^2}$，令$h（x）=\frac{e^x}{x^2}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x-2，
令f'（x）=0解得x=ln2，
易知f（x）在（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=ln2時(shí)，f（x）有極小值f（ln2）=2-2ln2．…（5分）
（Ⅱ）方程f（x）=e^x-2x=kx²-2x，整理得e^x=kx²，
當(dāng)x＞0時(shí)，$k=\frac{e^x}{x^2}$．…（6分）
令$h（x）=\frac{e^x}{x^2}$，則$h'（x）=\frac{{{e^x}•{x^2}-{e^x}•2x}}{x^4}=\frac{{{e^x}（x-2）}}{x^3}$，…（8分）
令h'（x）=0，解得x=2，
易得h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
所以x=2時(shí)，φ（x）有最小值$φ（2）=\frac{e^2}{4}$，．…（10分）
而當(dāng)x越來(lái)越靠近0時(shí)，φ（x）的值越來(lái)越大，
又當(dāng)x＞0，方程f（x）=kx²-2x無(wú)解，
所以$k＜\frac{e^2}{4}$..…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．