Question

6．已知命題p：函數(shù)f（x）=lg（x²-2x+a）的定義域為R，命題q：對于x∈[1，3]，不等式ax²-ax-6+a＜0恒成立，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p，q一真一假，進而得到答案．

解答 解：當(dāng)P真時，f（x）=lg（x²-2x+a）的定義域為R，
有△=4-4a＜0，
解得a＞1．…..（2分）
當(dāng)q真時，即使g（x）=ax²-ax-6+a在x∈[1，3]上恒成立，
則有a＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$在x∈[1，3]上恒成立，
而當(dāng)x∈[1，3]時，$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{6}{{（x-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}}$≥$\frac{6}{7}$，
故a＜$\frac{6}{7}$．…..（5分）
又因為p∨q為真命題，p∧q為假命題，所以p，q一真一假，…..（6分）
當(dāng)p真q假時，a＞1．…..（8分）
當(dāng)p假q真時，a＜$\frac{6}{7}$…..（10分）
所以實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{6}{7}$）∪（1，+∞）…..（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查復(fù)合命題，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值與值域，難度中檔．