Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，x＞2}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{9}{4}-x）+{a}^{2}，x≤2}\end{array}\right.$，若f（x）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1]∪[2，+∞）．

Answer 1

分析 判斷分段函數(shù)在各自取值范圍上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的值域?yàn)镽，得到兩個(gè)函數(shù)的最值之間的關(guān)系建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x＞2時(shí)，函數(shù)f（x）=2^x+a，為增函數(shù)，
當(dāng)x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}（\frac{9}{4}-x）$+a²，為增函數(shù)，
若f（x）的值域?yàn)镽，
則滿足當(dāng)x＞2時(shí)的范圍小于或等于當(dāng)x≤2時(shí)的最大值，
即2²+a≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{9}{4}$-2）+a²，
即4+a≤log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{4}$+a²=2+a²，
即a²-a-2≥0，
得a≥2或a≤-1，
故答案為：（-∞，-1]∪[2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解和應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，得到兩個(gè)函數(shù)最值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．