Question

10．關(guān)于函數(shù)f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$（x≠0），給出下列命題：
①其圖象關(guān)于y軸對稱；
②當(dāng)x＞0時，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x＜0時，f（x）是減函數(shù)；
③f（x）在區(qū)間（-1，0），（2，+∞）上是增函數(shù)；
④f（x）的最小值是lg2；
⑤f（x）既無最大值，也無最小值．
其中正確的序號是①③④．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性及最值，進(jìn)而可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$（x≠0），
f（-x）=lg$\frac{（-{x）}^{2}+1}{|-x|}$=lg$\frac{{{x^2}+1}}{|x|}$=f（x），
故函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱；故①正確；
當(dāng)x＞0時，f（x）=lg$\frac{{x}^{2}+1}{x}$，在（0，1]上為減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)x＜0時，f（x）=lg$\frac{{x}^{2}+1}{-x}$，在（-∞，-1]上為減函數(shù)，在[-1，0）上是增函數(shù)；
故②錯誤，③正確；
當(dāng)x=±1時，函數(shù)取最小值lg2，無最大值，故④正確，⑤錯誤；
故答案為：①③④

點(diǎn)評 本題是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，分析出函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性及最值，是解答的關(guān)鍵．