Question

5．若邊長為6的等邊三角形ABC，M是其外接圓上任一點，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OM}$的最大值為$12\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出外接圓圓心，建立平面直角坐標(biāo)系，將$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OM}$表示成θ的三角函數(shù)，求出最大值

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，∴三角形的外接圓半徑為2$\sqrt{3}$，
以外接圓圓心O為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（2$\sqrt{3}$，0），B（-$\sqrt{3}$，3）．
設(shè)M（2$\sqrt{3}$cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3$\sqrt{3}$，3），$\overrightarrow{OM}$=（2$\sqrt{3}$cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OM}$=-18cosθ+6$\sqrt{3}$sinθ=12$\sqrt{3}$sin（θ-$\frac{π}{3}$），
∵-1≤sin（θ-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴-12$\sqrt{3}$≤12$\sqrt{3}$sin（θ-$\frac{π}{3}$）≤12$\sqrt{3}$，
故$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OM}$的最大值為12$\sqrt{3}$，
故答案為：12$\sqrt{3}$

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，平面向量的數(shù)量積運算，數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．