Question

19．某市電視臺(tái)為了宣傳，舉辦問答活動(dòng)，隨機(jī)對(duì)該市15至65歲的人群進(jìn)行抽樣，頻率分布直方圖及回答問題統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：

組號(hào)	分組	回答正確 的人數(shù)	回答正確的人數(shù) 占本組的概率
第1組	[15，25）	5	0.5
第2組	[25，35）	a	0.9
第3組	[35，45）	27	x
第4組	[45，55）	b	0.36
第5組	[55，65）	3	y

（1）分別求出a，b，x，y的值；
（2）從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，則第2，3，4組每組應(yīng)各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，電視臺(tái)決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取3人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng)，求：所抽取的人中第3組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出第1組人數(shù)為100，從而得到n=1000，由此能求出求出a，b，x，y的值．
（2）第2，3，4組回答正確的人的比為2：3：1，由此能求出第2，3，4組每組應(yīng)各抽取的人數(shù)．
（3）記抽取的6人中，第2組的記為a₁，a₂，第3組的記為b₁，b₂，b₃，第4組的記為c，由此利用列舉法能求出所抽取的人中第3組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率．

解答 解：（1）第1組人數(shù)5÷0.05=100，
所以n=100÷0.1=1000，
第2組人數(shù)1000×0.2=200，所以a=200×0.9=180，
第3組人數(shù)1000×0.3=300，所以x=270÷300=0.9，
第4組人數(shù)1000×0.25=250，所以b=250×0.36=90，
第5組人數(shù)1000×0.15=150，所以y=3÷150=0.02．
（2）第2，3，4組回答正確的人的比為180：270：90=2：3：1，
從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，
所以第2，3，4組每組應(yīng)各依次抽取2人，3人，1人．
（3）記抽取的6人中，第2組的記為a₁，a₂，第3組的記為b₁，b₂，b₃，第4組的記為c，
則從6名學(xué)生中任取3名的所有可能的情況有20種，它們是：$\begin{array}{l}（{a_1}，{a_2}，{b_1}），（{a_1}，{a_2}，{b_2}），（{a_1}，{a_2}，{b_3}），（{a_1}，{a_2}，c），（{a_1}，{b_1}，{b_2}），（{a_1}，{b_1}，{b_3}），（{a_1}，{b_1}，c），（{a_1}，{b_2}，{b_3}），（{a_1}，{b_2}，c），\\（{a_1}，{b_3}，c），（{a_2}，{b_1}，{b_2}），（{a_2}，{b_1}，{b_3}），（{a_2}，{b_1}，c），（{a_2}，{b_2}，{b_3}），（{a_2}，{b_2}，c），（{a_2}，{b_3}，c），（{b_1}，{b_2}，{b_3}），（{b_1}，{b_2}，c），\\（{b_1}，{b_3}，c），（{b_2}，{b_3}，c）\end{array}$
其中記“第3組至少有1人”為事件A，則A的對(duì)立事件是“第3組的沒有選到”，
其基本事件個(gè)數(shù)是1個(gè)，即（a₁，a₂，c），
故所抽取的人中第3組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率為$P（A）=1-P（\overline A）=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖、分層抽樣的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．