分析 令${y}_{1}=\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}},{y}_{2}=px+q$,y1表示半圓,y2表示直線,對?x∈[0,r],存在唯一的實數(shù)對(p,q),使不等式|y1-y2|≤t,幾何意義為只有唯一的一條直線,
使得它在[0,r]上的每一個點,與圓在y軸方向上的距離始終不大于t,求得$({y}_{1}-{y}_{2})′=\frac{-x}{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}-p$,分p≥0和p<0求出|y1-y2|得最大值點,聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{|p-q|=t}\\{|pr+q|=t}\end{array}\right.$,解得四個交點為(-1,r+t),(-1,r-t),($\frac{2t}{r}-1,r-t$),($-\frac{2t}{r}-1,r+t$),然后把四個點的坐標(biāo)分別代入使$x=\sqrt{\frac{{p}^{2}{r}^{2}}{1+{p}^{2}}}$成立的不等式求得$\frac{t}{r}$.
解答 解:令${y}_{1}=\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}},{y}_{2}=px+q$,y1表示半圓,y2表示直線,
對?x∈[0,r],存在唯一的實數(shù)對(p,q),使不等式|y1-y2|≤t,
即存在唯一的實數(shù)對(p,q),使在[0,r]上,|y1-y2|max≤t,其幾何意義為,只有唯一的一條直線,
使得它在[0,r]上的每一個點,與圓在y軸方向上的距離始終不大于t,
如圖所示,陰影部分表示直線在區(qū)間[0,r]上的每一個點,與圓在y軸方向上的距離,
$({y}_{1}-{y}_{2})′=\frac{-x}{\sqrt{{r}^{2}-{x}^{2}}}-p$,如果p≥0,則(y1-y2)′≤0,在x=0或x=r時,|y1-y2|有最大值,
如果p<0,那么y1-y2在[0,r]上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,令(y1-y2)′=0,得$x=\sqrt{\frac{{p}^{2}{r}^{2}}{1+{p}^{2}}}$,
在x=0或x=r或$x=\sqrt{\frac{{p}^{2}{r}^{2}}{1+{p}^{2}}}$時,|y1-y2|有最大值,
∴|y1-y2|max≤t恒成立,必須有x=0或x=r或$x=\sqrt{\frac{{p}^{2}{r}^{2}}{1+{p}^{2}}}$時都有|y1-y2|≤t,
∴$\left\{\begin{array}{l}{|q-r|≤t}\\{|pr+q|≤t}\\{|(p|p|-1)\sqrt{\frac{{r}^{2}}{1+{p}^{2}}}+q|≤t}\end{array}\right.$,
∵(p,q)的唯一性,∴上述不等式組有唯一解,
將p,q看作自變量和因變量,上述線性規(guī)劃問題的可行域只有一個點,前兩個約束條件對應(yīng)的是兩個帶狀圖形,
它們的交集是一個平行四邊形,聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{|p-q|=t}\\{|pr+q|=t}\end{array}\right.$,解得四個交點為(-1,r+t),(-1,r-t),($\frac{2t}{r}-1,r-t$),($-\frac{2t}{r}-1,r+t$),
∵可行域只有一個點,∴這個點一定使第三個不等式等號成立,
將(-1,r+t)代入得,$|-\sqrt{2}r+r+t|=t$,∵r≠0,∴($\sqrt{2}-1$)r=2t,得$\frac{t}{r}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$;
將(-1,r-t)代入得,$|-\sqrt{2}r+r-t|=t$,∵r>0,t>0,∴不合題意;
將($\frac{2t}{r}-1,r-t$)代入得,$|r+t-r\sqrt{1+(\frac{2t}{r}+1)^{2}}|=t$,無解;
將($-\frac{2t}{r}-1,r+t$)代入得,$|r-t-r\sqrt{1+(\frac{2t}{r}-1)^{2}}|=t$,無解.
p>0時,t>2r,如果取等,在圖形中,相當(dāng)于直線在區(qū)間[0,r]上的某點與圓在y軸方向上的距離大于2r,不合題意.
綜上,$\frac{t}{r}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$.
故答案為:$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$.
點評 本題考查恒成立問題,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,題目設(shè)置難度較大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | a<-1或a>0 | B. | -1<a<0 | C. | a<0或a>1 | D. | a<-1或a>1 |
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A. | 2 | B. | $\sqrt{3}$ | C. | $\sqrt{2}$ | D. | 1 |
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A. | ①④ | B. | ②③ | C. | ①②③ | D. | ④ |
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