Question

已知三棱錐P—ABC中，PA=PB，CB⊥平面PAB，PM=MC，AN=3NB。

（1）求證明：MN⊥AB；

（2）當(dāng)∠APB=90°，BC=2，AB=4時(shí)，求MN的長(zhǎng)。

 

 

Answer 1

（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：線線垂直的方法一、 如果直線與平面垂直，那么直線與平面內(nèi)任意一條直線都垂直。

二、三垂線定理：如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面的垂線在平面內(nèi)的射影，則這條直線垂直于斜線。

三、如果一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，那么這條直線必與另一條垂直。

四、如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直。

五、如果兩條直線的方向向量的點(diǎn)積為零，則兩直線互相垂直。

同時(shí)證明線線垂直時(shí)，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形等等；

試題解析：

AB平面PAB

所以CBBA

因?yàn)镸.G分別是PC.PB的中點(diǎn)

所以MG//BG

所以ABMG

因?yàn)镻A=AB,H為AB的中點(diǎn)

所以PHAB

因?yàn)锳N=3NB

所以BN=NH

因?yàn)镚為PB的中點(diǎn)

所以NG//PH 又因?yàn)镻HAB

所以NGAB

又因?yàn)镸GNG=G

MG,,NG平面MNG

所以AB平面MNG

MN平面MNG

所以ABMN

考點(diǎn)：線面垂直的判斷定理及性質(zhì)定理