【題目】如圖所示,已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,E是棱CC1上的點(diǎn),且BE⊥B1C.

(1)求CE的長;
(2)求證:A1C⊥平面BED;
(3)求A1B與平面BDE夾角的正弦值.

【答案】
(1)解:如圖所示,

以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.

∴D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),

B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4).

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2,t),則 =(﹣2,0,t), =(﹣2,0,﹣4).

∵BE⊥B1C,∴ =4+0﹣4t=0.

∴t=1,故CE=1.


(2)證明:由(1)得,E(0,2,1), =(﹣2,0,1),

=(﹣2,2,﹣4), =(2,2,0)

=4+0﹣4=0,且 =﹣4+4+0=0.

,即A1C⊥DB,A1C⊥BE,

又∵DB∩BE=B,∴A1C⊥平面BDE,即A1C⊥平面BED


(3)解:由(2)知 =(﹣2,2,﹣4)是平面BDE的一個(gè)法向量.

=(0,2,﹣4),

∴cos< , >= =

∴A1B與平面BDE夾角的正弦值為


【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,求出 、 ,利用 =0,即可求得結(jié)論;(2)證明 ,可得A1C⊥DB,A1C⊥BE,從而可得A1C⊥平面BED;(3)由(2)知 =(﹣2,2,﹣4)是平面BDE的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,即可求A1B與平面BDE夾角的正弦值.

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