Question

【題目】函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0， ），它的一個(gè)對稱中心是M（ ，0），點(diǎn)M與最近的一條對稱軸的距離是 ．
（1）求此函數(shù)的解析式；
（2）求此函數(shù)取得最大值時(shí)x的取值集合；
（3）當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，求此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的圖象

的一個(gè)對稱中心是M（ ，0），點(diǎn)M與最近的一條對稱軸的距離是 ，故 ，

求得ω=2，φ= ．

再根據(jù)函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為（0， ），可得Asin（ω0+ ）= ，∴A=2，

函數(shù)f（x）=2sin（2x+ ）．

（2）解：令2x+ =2kπ+ ，求得 x=kπ+ ，k∈Z，故函數(shù)取得最大值時(shí)x的取值集合為{x|x=kπ+ ，k∈Z}
（3）解：令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，可得函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，k∈Z．

再結(jié)合x∈（0，π），可得函數(shù)的增區(qū)間為（0， ]、[ ，π）

【解析】（1）由函數(shù)的周期性、圖象的對稱性求出ω、φ的值，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出A的值，可得函數(shù)的解析式．（2）利用正弦函數(shù)的最大值，求得函數(shù)取得最大值時(shí)x的取值集合．（3）利用正弦函數(shù)的調(diào)增區(qū)間，求得當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．