Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中, ，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)， ，沿將翻折到，連接，得到如圖的五棱錐，且

（1）求證： 平面（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）先證明，從而，根據(jù)線面垂直的判定定理可證明平面；（2）設(shè)，連接，由（1）可得，根據(jù)勾股定理可得,根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，以為原點(diǎn)， 在直線為軸， 所在直線軸， 所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.

試題解析：（1）點(diǎn)分別是的中點(diǎn)

菱形的對(duì)角線互相垂直

（2）設(shè)，連接 為等邊三角形，

，在中，在中，

， 平面

以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

設(shè)平面的法向量為，由得

令得

平面的一個(gè)法向量為，

由（1）知平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)求二面角的平面角為，

則

二面角的余弦值為

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.