Question

已知橢圓c：=1（a＞b＞0），左、右兩個焦點分別為F₁、F₂，上頂點A（0，b），△AF₁F₂是正三角形且周長為6．
（1）求橢圓C的標準方程及離心率；
（2）O為坐標原點，P是直線F₁A上的一個動點，求的最小值，并求出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的定義和△AF₁F₂周長為6，建立關于a、b、c的方程組，解之得a=2、b=且c=1，即可得到橢圓C的標準方程，用離心率的公式即可得到該橢圓的離心率；
（2）設直線AF₁的方程為y=（x+1），求出原點O關于直線AF₁的對稱點M的坐標為（-，），從而得到|PF₂|+|PM|的最小值為|MF₂|=，再由MF₂的方程y=-（x-1）與AF₁方程聯(lián)解，即可得到此時點P的坐標．
解答：解：（1）由題意，得，解之得a=2，b=，c=1
故橢圓C的方程為=1，離心率e=；
（2）∵△AF₁F₂是正三角形，可得直線AF₁的斜率為k=tan=
∴直線AF₁的方程為y=（x+1）
設點O關于直線AF₁的對稱點為M（m，n），則，
解之得m=-，n=，可得M坐標為（-，），
∵|PO|=|PM|，|PF₂|+|PO|=|PF₂|+|PM|＞|MF₂|
∴|PF₂|+|PM|的最小值為|MF₂|==
直線MF₂的方程為y=（x-1），即y=-（x-1）
由解得，所以此時點P的坐標為（-，）．
綜上所述，可得求|PF₁|+|PO|的最小值為，此時點P的坐標為（-，）．
點評：本題在已知橢圓上頂點與焦距構成正三角形的周長情況下，求橢圓的標準方程并依此求一個距離和的最小值．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)和運用對稱解決距離之和最小值等知識，屬于中檔題．