已知A,B分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)
的左右頂點(diǎn),F(xiàn)1是橢圓C的左焦點(diǎn),|AF1|=2-
3
,離心率e=
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)P為橢圓C上異于A,B的任意一點(diǎn),且PH⊥x軸,H為垂足,延長HP到點(diǎn)Q使得|HP|=|PQ|,連接AQ,并延長AQ交直線l:x=2于M點(diǎn),N為MB中點(diǎn),求
OQ
QN
的值,并判斷以O(shè)為圓心,OQ為半徑的圓與直線QN的位置關(guān)系.
分析:(1)依題意,可求得a與c,從而可得橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),依題意,可知H(x0,0)和Q(x0,2y0),知A(-2,0),可得直線AQ方程,x=2與直線l交于M(2,
8y0
x0+2
),MB的中點(diǎn)為N(2,
4y0
x0+2
),可求得向量
OQ
NQ
的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積可證
OQ
NQ
,從而可判斷出以O(shè)為圓心,OQ為半徑的圓與直線QN相切.
解答:解:(1)e=
c
a
=
3
2
,|AF1|=2-
3
=a-c…2
∴a=2,c=
3
,
∴橢圓C的方程為:
x2
4
+
y2
1
=1;…(4分)
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),
x
2
0
4
+
y
2
0
1
=1…(5分)
∵|HP|=|PQ|,得H(x0,0)和Q(x0,2y0),…(6分)
又A(-2,0),Q(x0,2y0),得直線AQ方程l為y=
2y0
x0+2
(x+2)…(7分)
x=2與直線l交于M點(diǎn),M(2,
8y0
x0+2
),MB的中點(diǎn)為N,則N(2,
4y0
x0+2
)…(8分)
OQ
=(x0,2y0),
NQ
=(x0-2,
2x0y0
x0+2
)…(9分)
OQ
NQ
=x0(x0-2)+2y0
2x0y0
x0+2
=x0(x0-2)+
x0(4-
x
2
0
)
x0+2
=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0…(11分)
OQ
NQ
判斷得出以O(shè)為圓心,OQ為半徑的圓與直線QN相切.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式的應(yīng)用,突出綜合運(yùn)算能力的考查,屬于難題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A、B分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
的左右兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P(-1,
2
2
)在橢圓上,線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)C是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),對(duì)于△ABC,求
sinA+sinB
sinC
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A,B分別是橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1的左、右頂點(diǎn),P是橢圓上異與A,B的任意一點(diǎn),Q是雙曲線C2
x2
a2
-
y2
b2
=1上異與A,B的任意一點(diǎn),a>b>0.
(I)若P(
5
2
3
),Q(
5
2
,1),求橢圓Cl的方程;
(Ⅱ)記直線AP,BP,AQ,BQ的斜率分別是k1,k2,k3,k4,求證:k1•k2+k3•k4為定值;
(Ⅲ)過Q作垂直于x軸的直線l,直線AP,BP分別交 l于M,N,判斷△PMN是否可能為正三角形,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A、B分別是橢圓=1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng),求△ABC的重心G的軌跡的普通方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年廣東省廣州東莞五校高三第二次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本題14分)已知A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P )在橢圓上,線段PBy軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)點(diǎn)是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),對(duì)于△ABC,求的值。

 

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