已知A、B分別是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（-1，
2
2
）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于△ABC，求
sinA+sinB
sinC
的值．
分析：（1）由OM是△PAB的中位線得到PA⊥AB，由
c =1
1
a2
+
1
2b2
=1
a2=b2+c2
 解得a2和b2的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（2）由橢圓的定義AC+BC=2a，△ABC中，由正弦定理求得
sinA+sinB
sinC
的值．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）∵點(diǎn)M是線段PB的中點(diǎn)，∴OM是△PAB的中位線，
又OM⊥AB，∴PA⊥AB．
∴
c =1
1
a2
+
1
2b2
=1
a2=b2+c2
，解得a2=2，b2=1，c2=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 
x2
2
+y2=1．
（2）∵點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，
∴AC+BC=2a=2
2
，AB=2c=2，
在△ABC中，由正弦定理，
BC
sinA
=
AC
sinB
=
AB
sinC
，
∴
sinA+sinB
sinC
=
BC+AC
AB
=
2
2
2
=
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B分別是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓C的左焦點(diǎn)，|AF1|=2-
3
，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)，且PH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得|HP|=|PQ|，連接AQ，并延長(zhǎng)AQ交直線l：x=2于M點(diǎn)，N為MB中點(diǎn)，求
OQ
•
QN
的值，并判斷以O(shè)為圓心，OQ為半徑的圓與直線QN的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B分別是橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上異與A，B的任意一點(diǎn)，Q是雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1上異與A，B的任意一點(diǎn)，a＞b＞0．
（I）若P（
5
2
，
3
），Q（
5
2
，1），求橢圓Cl的方程；
（Ⅱ）記直線AP，BP，AQ，BQ的斜率分別是k1，k2，k3，k4，求證：k1•k2+k3•k4為定值；
（Ⅲ）過Q作垂直于x軸的直線l，直線AP，BP分別交 l于M，N，判斷△PMN是否可能為正三角形，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B分別是橢圓=1的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在該橢圓上運(yùn)動(dòng)，求△ABC的重心G的軌跡的普通方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年廣東省廣州東莞五校高三第二次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本題14分）已知A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P ）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，對(duì)于△ABC，求的值。

 

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