Question

19．如圖所示，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中a＞b＞0，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左，右焦點，點P是橢圓C上一點，PO⊥F₂M，且$\overrightarrow{{F_1}M}=λ\overrightarrow{MP}$．
（1）當$a=2\sqrt{2}$，b=2，且PF₂⊥F₁F₂時，求λ的值；
（2）若λ=2，試求橢圓C離心率e的范圍．

Answer 1

分析 （1）當$a=2\sqrt{2}$，b=2時，橢圓C為：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，可得F₁，F(xiàn)₂，利用PF₂⊥F₁F₂，可得P坐標．可得直線F₂M方程，直線F₁M方程，解得λ．
（2）設P（x₀，y₀），M（x_M，y_M），由$\overrightarrow{{F_1}M}=2\overrightarrow{MP}$，可得$\overrightarrow{{F}_{1}M}$，M坐標，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$，由$\overrightarrow{PO}⊥\overrightarrow{{F_2}M}$，$\overrightarrow{OP}=（{x_0}，{y_0}）$，又$\frac{{{x_0}^2}}{a^2}+\frac{{{y_0}^2}}{b^2}=1$，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（1）當$a=2\sqrt{2}$，b=2時，橢圓C為：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，F(xiàn)₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∴PF₂⊥F₁F₂，則$P（2，\sqrt{2}）$或$P（2，-\sqrt{2}）$，
當$P（2，\sqrt{2}）$時，${k_{OP}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，${k_{{F_2}M}}=-\sqrt{2}$，${k_{{F_1}M}}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
直線F₂M：$y=-\sqrt{2}（x-2）$，①
直線F₁M：$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（x+2）$，②
聯(lián)立①②解得${x_1}=\frac{6}{5}$，
∴$λ=\frac{{{x_M}-{x_{F_1}}}}{{{x_P}-{x_M}}}=4$．
同理可得當$P（2，-\sqrt{2}）$時，λ=4，
綜上所述，λ=4．
（2）設P（x₀，y₀），M（x_M，y_M），
由$\overrightarrow{{F_1}M}=2\overrightarrow{MP}$，
∴$\overrightarrow{{F_1}M}=\frac{2}{3}（{x_0}+c，{y_0}）=（{x_M}+c，{y_M}）$，
∴$M（\frac{2}{3}{x_0}-\frac{1}{3}c，\frac{2}{3}{y_0}）$，$\overrightarrow{{F_2}M}=（\frac{2}{3}{x_0}-\frac{4}{3}c，\frac{2}{3}{y_0}）$，
由$\overrightarrow{PO}⊥\overrightarrow{{F_2}M}$，$\overrightarrow{OP}=（{x_0}，{y_0}）$，
∴$（\frac{2}{3}{x_0}-\frac{4}{3}c）{x_0}+\frac{2}{3}{y_0}^2=0$，
即${x_0}^2+{y_0}^2=2c{x_0}$，③
又$\frac{{{x_0}^2}}{a^2}+\frac{{{y_0}^2}}{b^2}=1$，④
聯(lián)立③④解得${x_0}=\frac{a+c}{c}$（舍）或${x_0}=\frac{a（a-c）}{c}$，（∵x₀∈（-a，a）），
∴${x_0}=\frac{a（a-c）}{c}∈（0，a）$，即0＜a²-ac＜ac，
∴$e＞\frac{1}{2}$，故$e∈（\frac{1}{2}，1）$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、向量運算性質、不等式解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．