Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x+1|．
（Ⅰ） 解不等式f（x+8）≥10-f（x）；
（Ⅱ） 若|x|＞1，|y|＜1，求證：f（y）＜|x|•f（$\frac{y}{{x}^{2}}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 分類討論，解不等式f（x+8）≥10-f（x）；
（Ⅱ）利用分析法證明不等式．

解答 （Ⅰ）解：原不等式即為|x+9|≥10-|x+1|．
當(dāng)x＜-9時(shí)，則-x-9≥10+x+1，解得x≤-10；
當(dāng)-9≤x≤-1時(shí)，則x+9≥10+x+1，此時(shí)不成立；
當(dāng)x＞-1時(shí)，則x+9≥10-x-1，解得x≥0．
所以原不等式的解集為{x|x≤-10或x≥0}．（5分）
（Ⅱ）證明：要證$f（y）＜\;|x|•f（\frac{y}{x^2}）$，即$|y+1|＜\;|x||\frac{y}{x^2}+1|$，只需證明$\frac{|y+1|}{|x|}＜\;|\frac{y}{x^2}+1|$．
則有$\frac{{{{（y+1）}^2}}}{x^2}-\frac{{{{（y+{x^2}）}^2}}}{x^4}$=$\frac{{{x^2}{{（y+1）}^2}-{{（y+{x^2}）}^2}}}{x^4}$=$\frac{{{x^2}{y^2}+2{x^2}y+{x^2}-（{y^2}+2{x^2}y+{x^4}）}}{x^4}$
=$\frac{{{x^2}{y^2}+{x^2}-{y^2}-{x^4}}}{x^4}$=$\frac{{（1-{x^2}）（{x^2}-{y^2}）}}{x^4}$．
因?yàn)閨x|²＞1，|y|²＜1，則$\frac{{{{（y+1）}^2}}}{x^2}-\frac{{{{（y+{x^2}）}^2}}}{x^4}$=$\frac{{（1-{x^2}）（{x^2}-{y^2}）}}{x^4}＜0$，
所以$\frac{{{{（y+1）}^2}}}{x^2}＜\frac{{{{（y+{x^2}）}^2}}}{x^4}$，原不等式得證．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查不等式的證明，考查分析法的運(yùn)用，屬于中檔題．