Question

已知三角形PAD所在平面與矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=120°，若點P，A，B，C，D都在同一球面上，則此球的表面積等于（　�。�

• A、8π
• B、12π
• C、16π
• D、20π

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關系與距離,球

分析：設球心為O，如圖．由于點P、A、B、C、D都在同一球面上，推出OP=OB=R，設OE=x，分別在直角三角形BOE中，和在直角三角形POH中，列出球的半徑的式子，通過解方程求得此球的半徑，從而得出球的表面積．

解答：解：設球心為O，如圖．
由PA=PD=AB=2，∠APD=120°，可求得AD=2

3

在矩形ABCD中，可求得對角線BD=4，故BE=2
由于點P、A、B、C、D都在同一球面上，
∴OP=OB=R
設OE=x，在直角三角形BOE中，
OB²=BE²+OE²=4+x²
過O作線段OH垂直平面PAD于H點，H是垂足，由于O點到面PAD的距離與點E到平面PAD的距離相等，故OH=1
∴在直角三角形POH中，PO²=OH²+PH²=1+（1+x）²
∴4+x²=1+（1+x）²，解得x=1，
∴球的半徑R=OB=

5

則此球的表面積等于=4πR²=20π．
故選：D．

點評：本題是中檔題，考查球的體積和表面積，解題的根據是點P、A、B、C、D都在同一球面上，考查計算能力，空間想象能力．