Question

設(shè)集合S={1，2，3，…，n}（n∈N^*，n≥2），A，B是S的兩個(gè)非空子集，且滿足集合A中的最大數(shù)小于集合B中的最小數(shù)，記滿足條件的集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù)為P_n．
（1）求P₂，P₃的值；
（2）求P_n的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,子集與真子集

專題：綜合題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）當(dāng)n=2時(shí)，即S={1，2}，由此能求出P₂=1；當(dāng)n=3時(shí)，即S={1，2，3}，分類討論，可得P₃=5．
（2）設(shè)集合A中的最大元素為“k”，確定集合A、B的情況，可得集合對(duì)（A，B）共有2^k-1（2^n-k-1）=2^n-1-2^k-1對(duì)．由此能求出P_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n=2時(shí)，即S={1，2}，此時(shí)A={1}，B={2}，所以P₂=1，…2分
當(dāng)n=3時(shí)，即S={1，2，3}，若A={1}，則B={2}，或B={3}，或B={2，3}；
若A={2}或A={1，2}，則B={3}；所以P₃=5．…4分
（2）當(dāng)集合A中的最大元素為“k”時(shí)，集合A的其余元素可在1，2，…，k-1中任取若干個(gè)（包含不�。�，
所以集合A共有

C

0 k-1

+

C

1 k-1

+

C

2 k-1

+…+

C

k-1 k-1

=2k-1種情況，…6分
此時(shí)，集合B的元素只能在k+1，k+2，…，n中任取若干個(gè)（至少取1個(gè)），
所以集合B共有

C

1 n-k

+

C

2 n-k

+

C

3 n-k

+…+

C

n-k n-k

=2n-k-1種情況，
所以，當(dāng)集合A中的最大元素為“k”時(shí)，集合對(duì)（A，B）共有2^k-1（2^n-k-1）=2^n-1-2^k-1對(duì)，…8分
當(dāng)k依次取1，2，3，…，n-1時(shí)，可分別得到集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù)，
求和可得Pn=(n-1)•2n-1-(20+21+22+…+2n-2)=(n-2)•2n-1+1．…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．