Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^mx+x²-mx（m∈R）．
（Ⅰ）當m=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若m＜0，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+（e+1）y=0垂直．
（i）當x＞0時，試比較f（x）與f（-x）的大�。�
（ii）若對任意x₁，x₂（x₁≠x₂），且f（x₁）=f（x₂），證明：x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將m=1代入f（x），求出f（x）的導數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出f（x）的導數(shù)，得到me^m-m=e-1，令h（m）=me^m-m-e-1，求出h（m）的導數(shù)，得到m的值；（i）根據(jù)做差法判斷即可；（ii）問題轉(zhuǎn)化為f（x₁）-f（x₂）＞f（-x₂），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）當m=1時，f′（x）=e^x+2x-1=（e^x-1）+2x，
若x＞0，則e^x-1＞0，f′（x）＞0，
若x＜0，則e^x-1＜0，f′（x）＜0，
綜上，f（x）在（0，+∞）遞增，在（-∞，0）遞減；
（Ⅱ）∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x+（e+1）y=0垂直，
且f′（x）=m（e^mx-1）+2x，∴f′（1）=me^m+2-m=e+1，
故me^m-m=e-1，令h（m）=me^m-m-e-1，
則h′（m）=e^m+me^m-1，∵m＞0，∴h′（m）＞0，
∵h（1）=0，∴m＞0，方程me^m-m=e-1有唯一解m=1，
（i）當x＞0時，
令g（x）=f（x）-f（-x）=e^x-e^-x-2x，
則g′（x）=e^x+e^-x-2＞2-2=0，
∴g（x）在x＞0時遞增，即g（x）＞g（0）=0，
故x＞0時，f（x）＞f（-x），
（ii）若對任意x₁，x₂（x₁≠x₂），且f（x₁）=f（x₂），
由（Ⅰ）得：x₁，x₂必一正一負，
不妨設x₁＜0＜x₂，由（i）得：f（x₁）-f（x₂）＞f（-x₂），
而由（Ⅰ）得：m=1時，函數(shù)f（x）在（-∞，0）遞減，
∴x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道綜合題．