Question

【題目】已知函數(shù).其中.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）函數(shù)在處存在極值－1，且時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大整數(shù).

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）的最大整數(shù)為0.

【解析】

（1）求導(dǎo)，分，討論的正負(fù)值，即函數(shù)的單調(diào)性；

（2）先通過函數(shù)在處存在極值－1，可求出，將恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值.

解：（1），

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，，

則時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）函數(shù)在處存在極值－1，

由（1）知，且，，

所以，，

則；

因?yàn)?/span>，，

所以時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，

則在處存在極值滿足題意；

由題意恒成立，即，對(duì)恒成立，

即：，設(shè)，只需，

因?yàn)?/span>，

又令，，

所以在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，.

知存在使得，

即，

且在上，，，單調(diào)遞減，

在上，，，單調(diào)遞增，

所以，，即，

∴，

又，

知，所以的最大整數(shù)為0.