Question

3．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$（a＞0，且a≠1）
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（2）若對于x∈[2，4]，恒有f（x）＞log_a$\frac{m}{（x-1）•（7-x）}$成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷．
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法進行求解即可．

解答 解：（1）因為$\frac{x+1}{x-1}$＞解得x＞1或x＜-1，
所以函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），
函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，證明如下：
由（I）知函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，
又因為f（-x）=log_a$\frac{-x+1}{-x-1}$=log_a$\frac{x-1}{x+1}$=log_a（$\frac{x+1}{x-1}$）^-1=-log_a$\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)…（4分）
（2）若對于x∈[2，4]，f（x）＞log_a$\frac{m}{（x-1）•（7-x）}$恒成立
即log_a$\frac{x+1}{x-1}$＞log_a$\frac{m}{（x-1）•（7-x）}$對x∈[2，4]恒成立
當a＞1時，即$\frac{x+1}{x-1}$＞$\frac{m}{（x-1）•（7-x）}$對x∈[2，4]成立．
則x+1＞$\frac{m}{7-x}$，即（x+1）（7-x）＞m成立，
設g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，
因為x∈[2，4]
所以g（x）∈[15，16]，
則0＜m＜15，
同理當0＜a＜1時，即$\frac{x+1}{x-1}$＜$\frac{m}{（x-1）•（7-x）}$對x∈[2，4]成立．
則x+1＜$\frac{m}{7-x}$，即（x+1）（7-x）＜m成立，
設g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，
因為x∈[2，4]
所以g（x）∈[15，16]，
則m＞16，
綜上所述：a＞1時，0＜m＜15，
0＜a＜1時，m＞16      …．（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及不等式恒成立問題問題，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用參數(shù)分離法進行求解即可．