Question

15．設圓C滿足三個條件①過原點；②圓心在y=x上；③截y軸所得的弦長為4，求圓C的方程．

Answer 1

分析 分圓心C在第一象限和第三象限兩種情況，當圓心C₁在第一象限時，過C₁分別作出與x軸和y軸的垂線，根據角平分線的性質得到四邊形OBCD為正方形，連接C₁A，由題意可知圓C與y軸截得的弦長為4，根據垂徑定理即可求出正方形的邊長即可得到圓心C的坐標，在直角三角形ABC中，利用勾股定理即可求出AC的長即為圓的半徑，由圓心和半徑寫出圓的方程；當圓心C在第三象限時，同理可得圓C的方程．

解答 解：根據題意畫出圖形，如圖所示：

當圓心C₁在第一象限時，過C₁作C₁D垂直于x軸，C₁B垂直于y軸，連接AC₁，
由C₁在直線y=x上，得到C₁B=C₁D，則四邊形OBC₁D為正方形，
∵與y軸截取的弦OA=4，∴OB=C₁D=OD=C₁B=2，即圓心C₁（2，2），
在直角三角形ABC₁中，根據勾股定理得：AC₁=2$\sqrt{2}$，
則圓C₁方程為：（x-2）²+（y-2）²=8；
當圓心C₂在第三象限時，過C₂作C₂D垂直于x軸，C₂B垂直于y軸，連接AC₂，
由C₂在直線y=x上，得到C₂B=C₂D，則四邊形OB′C₂D′為正方形，∵與y軸截取的弦OA′=4，∴OB′=C₂D′，
=OD′=C₂B′=2，即圓心C₂（-2，-2），
在直角三角形A′B′C₂中，根據勾股定理得：A′C₂=2$\sqrt{2}$，
則圓C₁方程為：（x+2）²+（y+2）²=8，
∴圓C的方程為：（x-2）²+（y-2）²=8或（x+2）²+（y+2）²=8．

點評 本題考查了角平分線定理，垂徑定理，正方形的性質及直角三角形的性質，做題時注意分兩種情況，利用數形結合的思想，分別求出圓心坐標和半徑，寫出所有滿足題意的圓的標準方程，是中檔題．