Question

雙曲線C的離心率為

5

2

，且與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1有公共焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）雙曲線C上是否存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)（4，1）對(duì)稱，若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出雙曲線方程，結(jié)合題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求解出a，b得答案；
（2）假設(shè)雙曲線C上存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)（4，1）對(duì)稱，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求出AB所在直線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式得答案．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知得

a2+b2=5 c a = 5 2 c= 5

，
解得：a=2，b=1．
∴雙曲線C的方程為

x2

4

-y2=1；
（2）假設(shè)雙曲線C上存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)（4，1）對(duì)稱，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x12 4 -y12=1 x22 4 -y22=1

，

(x1+x2)(x1-x2)

4

-(y1+y2)(y1-y2)=0．
∴

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4(y1+y2)

．
kAB=

8

4×2

=1．
∴直線l的方程為y-1=1×（x-4），
即x-y-3=0．
驗(yàn)證：由

x-y-3=0 x2 4 -y2=1

，得3x²-24x+40=0，△=（-24）²-4×3×40=96＞0．
綜上，曲線C上存在兩點(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)（4，1）對(duì)稱，曲線方程為x-y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了“點(diǎn)差法”求與中點(diǎn)弦有關(guān)的直線的斜率，是中檔題．